Wyraz szczęt jest rzadko używany jako słowo pojedyncze i tylko w znaczeniu 'pozostałość czegoś, resztka'.
Częściej występuje w podanych przez Pana przykładach, które w słowniku frazeologicznym mają postać:
1) («ktoś« «robi coś», «coś» «dzieje się») do szczętu (= ze wszystkimi składnikami, całkowicie),
2) («ktoś» «robi coś», «coś» «dzieje się») ze szczętem (= ze wszystkimi składnikami, całkowicie),
3) «ktoś» rozbiera «coś» do (fundamentu, gruntu, szczętu) (= rozbiera, likwiduje, burzy całkowicie, do najmniejszego składnika).
Por. "Wielki słownik frazeologiczny języka polskiego" (http://www.frazeologia.pl).
Wyraz szczęt pochodzi od prasłowa czędo ('dziecko', 'potomek', 'coś, co czyni szczęśliwym'), które występowało w staropolszczyźnie (XIV-XVI w.), a później zanikło. Z biegiem czasu "d" przeszło w "t", następnie od z czętem lub s czętem tworzyły się pochodne, w których początkowe "z" lub "s" na skutek sąsiedztwa z "cz" przeszło w "sz" jako łatwiej wymawialne ("szczętem"... por. np.: z częścią wymowa → "szczęścią"). Dziś już tylko w znaczeniu pochodnym 'element minimalny powstały w wyniku rozdrobnienia, rozbioru, podziału'.
Stąd wzięły się także doszczętnie ('do najmniejszego składnika', 'całkowicie'), szczątek ('pozostałość', 'resztka'), szczątkowy, szczegół (prawdopodobnie zrost "szczet + ogół", 'składnik całości', 'detal', choć tu etymolodzy doszukują się także innych źródeł pochodzenia).